Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1584 / 3568
↖ ↑ ↗
← S 78.903929°
W 40.781250°		 ← 1 880.87 m → S 78.903929°
W 40.693359°		 →
↑
1 879.44 m
↓
↑
1 879.44 m
↓
S 78.920832°
W 40.781250°		 ← 1 878.04 m →
3 532 331 m²		 S 78.920832°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3868408203125 y=0.8712158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3868408203125 × 212)
    floor (0.3868408203125 × 4096)
    floor (1584.5)     		tx = 1584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8712158203125 × 212)
    floor (0.8712158203125 × 4096)
    floor (3568.5)     		ty = 3568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1584 / 3568 ti = "12/1584/3568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1584/3568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1584 ÷ 212
    1584 ÷ 4096     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3568 ÷ 212
    3568 ÷ 4096     		y = 0.87109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87109375 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.33165079751953))-π/2
    2×atan(0.0971352640105556)-π/2
    2×0.096831483108022-π/2
    0.193662966216044-1.57079632675     		φ = -1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1584 KachelY 3568 -0.71176709 -1.37713336 -40.781250 -78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 1585 KachelY 3568 -0.71023310 -1.37713336 -40.693359 -78.903929
    Unten links KachelX 1584 KachelY + 1 3569 -0.71176709 -1.37742836 -40.781250 -78.920832
    Unten rechts KachelX + 1 1585 KachelY + 1 3569 -0.71023310 -1.37742836 -40.693359 -78.920832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37713336--1.37742836) × R
    0.000294999999999934 × 6371000     		dl = 1879.44499999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37713336--1.37742836) × R
    0.000294999999999934 × 6371000     		dr = 1879.44499999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71023310) × cos(-1.37713336) × R
    0.0015339900000001 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 1880.86915720818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71023310) × cos(-1.37742836) × R
    0.0015339900000001 × 0.192165175249029 × 6371000     		du = 1878.03992169555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37713336)-sin(-1.37742836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192165175249029)×R²
    abs(-0.71023310--0.71176709)×0.000289493600123064×R²
    0.0015339900000001×0.000289493600123064×6371000²
    0.0015339900000001×0.000289493600123064×40589641000000     		ar = 3532331.46251056m²