Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1584 / 496
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 98.437500°		 ← 7 445.48 m → N 67.609220°
E 98.613281°		 →
↑
7 456.05 m
↓
↑
7 456.05 m
↓
N 67.542167°
E 98.437500°		 ← 7 466.63 m →
55 592 693 m²		 N 67.542167°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773681640625 y=0.242431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773681640625 × 211)
    floor (0.773681640625 × 2048)
    floor (1584.5)     		tx = 1584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242431640625 × 211)
    floor (0.242431640625 × 2048)
    floor (496.5)     		ty = 496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1584 / 496 ti = "11/1584/496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1584/496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1584 ÷ 211
    1584 ÷ 2048     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 496 ÷ 211
    496 ÷ 2048     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1584 KachelY 496 1.71805848 1.18000350 98.437500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 1585 KachelY 496 1.72112644 1.18000350 98.613281 67.609220
    Unten links KachelX 1584 KachelY + 1 497 1.71805848 1.17883319 98.437500 67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 1585 KachelY + 1 497 1.72112644 1.17883319 98.613281 67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17883319) × R
    0.00117031000000001 × 6371000     		dl = 7456.04501000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17883319) × R
    0.00117031000000001 × 6371000     		dr = 7456.04501000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.72112644) × cos(1.18000350) × R
    0.00306795999999987 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 7445.48313987181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.72112644) × cos(1.17883319) × R
    0.00306795999999987 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 7466.62828863409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.382003404359244)×R²
    abs(1.72112644-1.71805848)×0.00108181611573849×R²
    0.00306795999999987×0.00108181611573849×6371000²
    0.00306795999999987×0.00108181611573849×40589641000000     		ar = 55592693.347629m²