Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1586 / 2546
↖ ↑ ↗
← S 40.044437°
W 40.605469°		 ← 7 481.67 m → S 40.044437°
W 40.517578°		 →
↑
7 478.02 m
↓
↑
7 478.02 m
↓
S 40.111689°
W 40.605469°		 ← 7 474.28 m →
55 920 490 m²		 S 40.111689°
W 40.517578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3873291015625 y=0.6217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3873291015625 × 212)
    floor (0.3873291015625 × 4096)
    floor (1586.5)     		tx = 1586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6217041015625 × 212)
    floor (0.6217041015625 × 4096)
    floor (2546.5)     		ty = 2546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1586 / 2546 ti = "12/1586/2546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1586/2546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1586 ÷ 212
    1586 ÷ 4096     		x = 0.38720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2546 ÷ 212
    2546 ÷ 4096     		y = 0.62158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70869912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.763922432345215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70869912} λ = -0.70869912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763922432345215))-π/2
    2×atan(0.465835630025795)-π/2
    2×0.435944521925413-π/2
    0.871889043850827-1.57079632675     		φ = -0.69890728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70869912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69890728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.044437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1586 KachelY 2546 -0.70869912 -0.69890728 -40.605469 -40.044437
    Oben rechts KachelX + 1 1587 KachelY 2546 -0.70716514 -0.69890728 -40.517578 -40.044437
    Unten links KachelX 1586 KachelY + 1 2547 -0.70869912 -0.70008104 -40.605469 -40.111689
    Unten rechts KachelX + 1 1587 KachelY + 1 2547 -0.70716514 -0.70008104 -40.517578 -40.111689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69890728--0.70008104) × R
    0.00117376000000002 × 6371000     		dl = 7478.02496000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69890728--0.70008104) × R
    0.00117376000000002 × 6371000     		dr = 7478.02496000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70869912--0.70716514) × cos(-0.69890728) × R
    0.00153398000000005 × 0.765545680070707 × 6371000     		do = 7481.66765770822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70869912--0.70716514) × cos(-0.70008104) × R
    0.00153398000000005 × 0.764789977371628 × 6371000     		du = 7474.28218537165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69890728)-sin(-0.70008104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765545680070707-0.764789977371628)×R²
    abs(-0.70716514--0.70869912)×0.000755702699078764×R²
    0.00153398000000005×0.000755702699078764×6371000²
    0.00153398000000005×0.000755702699078764×40589641000000     		ar = 55920489.5337317m²