Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15872 / 49664
↖ ↑ ↗
← N 39.909736°
W136.406250°		 ← 234.23 m → N 39.909736°
W136.403504°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
N 39.907629°
W136.406250°		 ← 234.24 m →
54 872 m²		 N 39.907629°
W136.403504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121097564697266 y=0.378910064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121097564697266 × 217)
    floor (0.121097564697266 × 131072)
    floor (15872.5)     		tx = 15872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378910064697266 × 217)
    floor (0.378910064697266 × 131072)
    floor (49664.5)     		ty = 49664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15872 / 49664 ti = "17/15872/49664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15872/49664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15872 ÷ 217
    15872 ÷ 131072     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49664 ÷ 217
    49664 ÷ 131072     		y = 0.37890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37890625 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760854470769531))-π/2
    2×atan(2.14010409584623)-π/2
    2×1.13367631383669-π/2
    2.26735262767337-1.57079632675     		φ = 0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15872 KachelY 49664 -2.38073818 0.69655630 -136.406250 39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 15873 KachelY 49664 -2.38069025 0.69655630 -136.403504 39.909736
    Unten links KachelX 15872 KachelY + 1 49665 -2.38073818 0.69651953 -136.406250 39.907629
    Unten rechts KachelX + 1 15873 KachelY + 1 49665 -2.38069025 0.69651953 -136.403504 39.907629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69655630-0.69651953) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69655630-0.69651953) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.38069025) × cos(0.69655630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 234.229820094126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.38069025) × cos(0.69651953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.767079730572756 × 6371000     		du = 234.237023699693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69655630)-sin(0.69651953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.767079730572756)×R²
    abs(-2.38069025--2.38073818)×2.35903775187563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35903775187563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35903775187563e-05×40589641000000     		ar = 54871.9125896449m²