Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15873 / 17919
↖ ↑ ↗
← S 16.625665°
W  5.614014°		 ← 1 170.51 m → S 16.625665°
W  5.603028°		 →
↑
1 170.48 m
↓
↑
1 170.48 m
↓
S 16.636192°
W  5.614014°		 ← 1 170.44 m →
1 370 018 m²		 S 16.636192°
W  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484420776367188 y=0.546859741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484420776367188 × 215)
    floor (0.484420776367188 × 32768)
    floor (15873.5)     		tx = 15873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546859741210938 × 215)
    floor (0.546859741210938 × 32768)
    floor (17919.5)     		ty = 17919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15873 / 17919 ti = "15/15873/17919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15873/17919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15873 ÷ 215
    15873 ÷ 32768     		x = 0.484405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17919 ÷ 215
    17919 ÷ 32768     		y = 0.546844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.09368896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294332563667145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09798302} λ = -0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294332563667145))-π/2
    2×atan(0.745028680768955)-π/2
    2×0.640311864993013-π/2
    1.28062372998603-1.57079632675     		φ = -0.29017260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29017260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.625665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15873 KachelY 17919 -0.09798302 -0.29017260 -5.614014 -16.625665
    Oben rechts KachelX + 1 15874 KachelY 17919 -0.09779128 -0.29017260 -5.603028 -16.625665
    Unten links KachelX 15873 KachelY + 1 17920 -0.09798302 -0.29035632 -5.614014 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 15874 KachelY + 1 17920 -0.09779128 -0.29035632 -5.603028 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29017260--0.29035632) × R
    0.000183719999999998 × 6371000     		dl = 1170.48011999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29017260--0.29035632) × R
    0.000183719999999998 × 6371000     		dr = 1170.48011999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09798302--0.09779128) × cos(-0.29017260) × R
    0.00019174000000001 × 0.958194505885482 × 6371000     		do = 1170.50697095215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09798302--0.09779128) × cos(-0.29035632) × R
    0.00019174000000001 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 1170.44273843518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29017260)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958194505885482-0.958141924186794)×R²
    abs(-0.09779128--0.09798302)×5.25816986880479e-05×R²
    0.00019174000000001×5.25816986880479e-05×6371000²
    0.00019174000000001×5.25816986880479e-05×40589641000000     		ar = 1370017.55223231m²