Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15876 / 17924
↖ ↑ ↗
← S 16.678293°
W  5.581055°		 ← 1 170.25 m → S 16.678293°
W  5.570068°		 →
↑
1 170.16 m
↓
↑
1 170.16 m
↓
S 16.688817°
W  5.581055°		 ← 1 170.18 m →
1 369 340 m²		 S 16.688817°
W  5.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484512329101562 y=0.547012329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484512329101562 × 215)
    floor (0.484512329101562 × 32768)
    floor (15876.5)     		tx = 15876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547012329101562 × 215)
    floor (0.547012329101562 × 32768)
    floor (17924.5)     		ty = 17924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15876 / 17924 ti = "15/15876/17924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15876/17924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15876 ÷ 215
    15876 ÷ 32768     		x = 0.4844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17924 ÷ 215
    17924 ÷ 32768     		y = 0.5469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.295291301659546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09740778} λ = -0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295291301659546))-π/2
    2×atan(0.74431473576506)-π/2
    2×0.6398525993126-π/2
    1.2797051986252-1.57079632675     		φ = -0.29109113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29109113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.678293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15876 KachelY 17924 -0.09740778 -0.29109113 -5.581055 -16.678293
    Oben rechts KachelX + 1 15877 KachelY 17924 -0.09721603 -0.29109113 -5.570068 -16.678293
    Unten links KachelX 15876 KachelY + 1 17925 -0.09740778 -0.29127480 -5.581055 -16.688817
    Unten rechts KachelX + 1 15877 KachelY + 1 17925 -0.09721603 -0.29127480 -5.570068 -16.688817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29109113--0.29127480) × R
    0.000183670000000025 × 6371000     		dl = 1170.16157000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29109113--0.29127480) × R
    0.000183670000000025 × 6371000     		dr = 1170.16157000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09740778--0.09721603) × cos(-0.29109113) × R
    0.000191750000000004 × 0.957931294097632 × 6371000     		do = 1170.24646767299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09740778--0.09721603) × cos(-0.29127480) × R
    0.000191750000000004 × 0.957878565086706 × 6371000     		du = 1170.18205184363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29109113)-sin(-0.29127480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957931294097632-0.957878565086706)×R²
    abs(-0.09721603--0.09740778)×5.27290109253453e-05×R²
    0.000191750000000004×5.27290109253453e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.27290109253453e-05×40589641000000     		ar = 1369339.75928498m²