Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1588 / 2612
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
W 40.429687°		 ← 6 989.74 m → S 44.339565°
W 40.341797°		 →
↑
6 985.99 m
↓
↑
6 985.99 m
↓
S 44.402392°
W 40.429687°		 ← 6 982.25 m →
48 804 104 m²		 S 44.402392°
W 40.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3878173828125 y=0.6378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3878173828125 × 212)
    floor (0.3878173828125 × 4096)
    floor (1588.5)     		tx = 1588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6378173828125 × 212)
    floor (0.6378173828125 × 4096)
    floor (2612.5)     		ty = 2612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1588 / 2612 ti = "12/1588/2612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1588/2612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1588 ÷ 212
    1588 ÷ 4096     		x = 0.3876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2612 ÷ 212
    2612 ÷ 4096     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3876953125 × 2 - 1) × π
    -0.224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.70563116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70563116} λ = -0.70563116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70563116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.429687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1588 KachelY 2612 -0.70563116 -0.77387140 -40.429687 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 1589 KachelY 2612 -0.70409718 -0.77387140 -40.341797 -44.339565
    Unten links KachelX 1588 KachelY + 1 2613 -0.70563116 -0.77496793 -40.429687 -44.402392
    Unten rechts KachelX + 1 1589 KachelY + 1 2613 -0.70409718 -0.77496793 -40.341797 -44.402392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77496793) × R
    0.00109652999999998 × 6371000     		dl = 6985.9926299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77496793) × R
    0.00109652999999998 × 6371000     		dr = 6985.9926299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70563116--0.70409718) × cos(-0.77387140) × R
    0.00153398000000005 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 6989.74045325198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70563116--0.70409718) × cos(-0.77496793) × R
    0.00153398000000005 × 0.714443473583078 × 6371000     		du = 6982.24647949622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77496793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.714443473583078)×R²
    abs(-0.70409718--0.70563116)×0.000766804875297344×R²
    0.00153398000000005×0.000766804875297344×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766804875297344×40589641000000     		ar = 48804103.7594033m²