Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 159 / 224
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
E 43.593750°		 ← 29.377 km → S 79.171334°
E 45.000000°		 →
↑
29.026 km
↓
↑
29.026 km
↓
S 79.432371°
E 43.593750°		 ← 28.677 km →
842.543 km²		 S 79.432371°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623046875 y=0.876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623046875 × 28)
    floor (0.623046875 × 256)
    floor (159.5)     		tx = 159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876953125 × 28)
    floor (0.876953125 × 256)
    floor (224.5)     		ty = 224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 159 / 224 ti = "8/159/224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/159/224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 159 ÷ 28
    159 ÷ 256     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 224 ÷ 28
    224 ÷ 256     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 159 KachelY 224 0.76085447 -1.38180046 43.593750 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 160 KachelY 224 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
    Unten links KachelX 159 KachelY + 1 225 0.76085447 -1.38635640 43.593750 -79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 160 KachelY + 1 225 0.78539816 -1.38635640 45.000000 -79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38635640) × R
    0.00455593999999993 × 6371000     		dl = 29025.8937399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38635640) × R
    0.00455593999999993 × 6371000     		dr = 29025.8937399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(-1.38180046) × R
    0.02454369 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 29377.2557483086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(-1.38635640) × R
    0.02454369 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 28677.2362273468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.183395988450163)×R²
    abs(0.78539816-0.76085447)×0.00447674842036452×R²
    0.02454369×0.00447674842036452×6371000²
    0.02454369×0.00447674842036452×40589641000000     		ar = 842543214.968251m²