Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 159 / 225
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E 43.593750°		 ← 28.677 km → S 79.432371°
E 45.000000°		 →
↑
28.334 km
↓
↑
28.334 km
↓
S 79.687184°
E 43.593750°		 ← 27.993 km →
802.853 km²		 S 79.687184°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623046875 y=0.880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623046875 × 28)
    floor (0.623046875 × 256)
    floor (159.5)     		tx = 159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.880859375 × 28)
    floor (0.880859375 × 256)
    floor (225.5)     		ty = 225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 159 / 225 ti = "8/159/225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/159/225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 159 ÷ 28
    159 ÷ 256     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 225 ÷ 28
    225 ÷ 256     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 159 KachelY 225 0.76085447 -1.38635640 43.593750 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 160 KachelY 225 0.78539816 -1.38635640 45.000000 -79.432371
    Unten links KachelX 159 KachelY + 1 226 0.76085447 -1.39080374 43.593750 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 160 KachelY + 1 226 0.78539816 -1.39080374 45.000000 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.39080374) × R
    0.00444734000000002 × 6371000     		dl = 28334.0031400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.39080374) × R
    0.00444734000000002 × 6371000     		dr = 28334.0031400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(-1.38635640) × R
    0.02454369 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 28677.2362273468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(-1.39080374) × R
    0.02454369 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 27993.3288426683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.179022279985821)×R²
    abs(0.78539816-0.76085447)×0.00437370846434196×R²
    0.02454369×0.00437370846434196×6371000²
    0.02454369×0.00437370846434196×40589641000000     		ar = 802853307.611972m²