Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 159 / 95
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
E 43.593750°		 ← 116.144 km → N 42.032975°
E 45.000000°		 →
↑
117.097 km
↓
↑
117.097 km
↓
N 40.979898°
E 43.593750°		 ← 118.048 km →
13 711.9 km²		 N 40.979898°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623046875 y=0.373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623046875 × 28)
    floor (0.623046875 × 256)
    floor (159.5)     		tx = 159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373046875 × 28)
    floor (0.373046875 × 256)
    floor (95.5)     		ty = 95
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 159 / 95 ti = "8/159/95"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/159/95.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 159 ÷ 28
    159 ÷ 256     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95 ÷ 28
    95 ÷ 256     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 159 KachelY 95 0.76085447 0.73361380 43.593750 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 160 KachelY 95 0.78539816 0.73361380 45.000000 42.032975
    Unten links KachelX 159 KachelY + 1 96 0.76085447 0.71523415 43.593750 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 160 KachelY + 1 96 0.78539816 0.71523415 45.000000 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.71523415) × R
    0.01837965 × 6371000     		dl = 117096.75015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.71523415) × R
    0.01837965 × 6371000     		dr = 117096.75015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(0.73361380) × R
    0.02454369 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 116143.722264537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.78539816) × cos(0.71523415) × R
    0.02454369 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 118048.298209466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.754939707695381)×R²
    abs(0.78539816-0.76085447)×0.0121800994081006×R²
    0.02454369×0.0121800994081006×6371000²
    0.02454369×0.0121800994081006×40589641000000     		ar = 13711948260.9804m²