Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1599 / 2625
↖ ↑ ↗
← S 45.151053°
W 39.462890°		 ← 6 892.30 m → S 45.151053°
W 39.375000°		 →
↑
6 888.58 m
↓
↑
6 888.58 m
↓
S 45.213004°
W 39.462890°		 ← 6 884.81 m →
47 452 363 m²		 S 45.213004°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3905029296875 y=0.6409912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3905029296875 × 212)
    floor (0.3905029296875 × 4096)
    floor (1599.5)     		tx = 1599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6409912109375 × 212)
    floor (0.6409912109375 × 4096)
    floor (2625.5)     		ty = 2625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1599 / 2625 ti = "12/1599/2625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1599/2625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1599 ÷ 212
    1599 ÷ 4096     		x = 0.390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2625 ÷ 212
    2625 ÷ 4096     		y = 0.640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.885106914584717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68875737} λ = -0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885106914584717))-π/2
    2×atan(0.412670050473335)-π/2
    2×0.39138089329266-π/2
    0.782761786585319-1.57079632675     		φ = -0.78803454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78803454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.151053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1599 KachelY 2625 -0.68875737 -0.78803454 -39.462890 -45.151053
    Oben rechts KachelX + 1 1600 KachelY 2625 -0.68722339 -0.78803454 -39.375000 -45.151053
    Unten links KachelX 1599 KachelY + 1 2626 -0.68875737 -0.78911578 -39.462890 -45.213004
    Unten rechts KachelX + 1 1600 KachelY + 1 2626 -0.68722339 -0.78911578 -39.375000 -45.213004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78803454--0.78911578) × R
    0.00108124000000009 × 6371000     		dl = 6888.5800400006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78803454--0.78911578) × R
    0.00108124000000009 × 6371000     		dr = 6888.5800400006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68875737--0.68722339) × cos(-0.78803454) × R
    0.00153398000000005 × 0.705240126207726 × 6371000     		do = 6892.30228910582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68875737--0.68722339) × cos(-0.78911578) × R
    0.00153398000000005 × 0.70447314899197 × 6371000     		du = 6884.80663106907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78803454)-sin(-0.78911578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705240126207726-0.70447314899197)×R²
    abs(-0.68722339--0.68875737)×0.000766977215755582×R²
    0.00153398000000005×0.000766977215755582×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766977215755582×40589641000000     		ar = 47452363.3811836m²