Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1599 / 577
↖ ↑ ↗
← N 61.522695°
E101.074219°		 ← 9 319.73 m → N 61.522695°
E101.250000°		 →
↑
9 332.30 m
↓
↑
9 332.30 m
↓
N 61.438767°
E101.074219°		 ← 9 344.88 m →
87 091 938 m²		 N 61.438767°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781005859375 y=0.281982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781005859375 × 211)
    floor (0.781005859375 × 2048)
    floor (1599.5)     		tx = 1599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281982421875 × 211)
    floor (0.281982421875 × 2048)
    floor (577.5)     		ty = 577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1599 / 577 ti = "11/1599/577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1599/577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1599 ÷ 211
    1599 ÷ 2048     		x = 0.78076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 577 ÷ 211
    577 ÷ 2048     		y = 0.28173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76407791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76407791} λ = 1.76407791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37137882433057))-π/2
    2×atan(3.94078059533747)-π/2
    2×1.32228495914185-π/2
    2.6445699182837-1.57079632675     		φ = 1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76407791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1599 KachelY 577 1.76407791 1.07377359 101.074219 61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 1600 KachelY 577 1.76714587 1.07377359 101.250000 61.522695
    Unten links KachelX 1599 KachelY + 1 578 1.76407791 1.07230878 101.074219 61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 1600 KachelY + 1 578 1.76714587 1.07230878 101.250000 61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07377359-1.07230878) × R
    0.00146481000000009 × 6371000     		dl = 9332.3045100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07377359-1.07230878) × R
    0.00146481000000009 × 6371000     		dr = 9332.3045100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76407791-1.76714587) × cos(1.07377359) × R
    0.00306796000000009 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 9319.72764655429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76407791-1.76714587) × cos(1.07230878) × R
    0.00306796000000009 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 9344.88458152084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07377359)-sin(1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.478097688205388)×R²
    abs(1.76714587-1.76407791)×0.00128706484760943×R²
    0.00306796000000009×0.00128706484760943×6371000²
    0.00306796000000009×0.00128706484760943×40589641000000     		ar = 87091938.0092713m²