Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 16 / 112
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
W135.000000°		 ← 58.755 km → S 79.171334°
W132.187500°		 →
↑
57.360 km
↓
↑
57.360 km
↓
S 79.687184°
W135.000000°		 ← 55.987 km →
3 290.79 km²		 S 79.687184°
W132.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12890625 y=0.87890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12890625 × 27)
    floor (0.12890625 × 128)
    floor (16.5)     		tx = 16
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87890625 × 27)
    floor (0.87890625 × 128)
    floor (112.5)     		ty = 112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 16 / 112 ti = "7/16/112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/16/112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16 ÷ 27
    16 ÷ 128     		x = 0.125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 112 ÷ 27
    112 ÷ 128     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Λ = -2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35619449} λ = -2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16 KachelY 112 -2.35619449 -1.38180046 -135.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 17 KachelY 112 -2.30710710 -1.38180046 -132.187500 -79.171334
    Unten links KachelX 16 KachelY + 1 113 -2.35619449 -1.39080374 -135.000000 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 17 KachelY + 1 113 -2.30710710 -1.39080374 -132.187500 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.39080374) × R
    0.00900327999999995 × 6371000     		dl = 57359.8968799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.39080374) × R
    0.00900327999999995 × 6371000     		dr = 57359.8968799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35619449--2.30710710) × cos(-1.38180046) × R
    0.04908739 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 58754.5234659892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35619449--2.30710710) × cos(-1.39080374) × R
    0.04908739 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 55986.669090846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.179022279985821)×R²
    abs(-2.30710710--2.35619449)×0.00885045688470648×R²
    0.04908739×0.00885045688470648×6371000²
    0.04908739×0.00885045688470648×40589641000000     		ar = 3290793715.55537m²