Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 16 / 80
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
W135.000000°		 ← 236.097 km → S 40.979898°
W132.187500°		 →
↑
232.285 km
↓
↑
232.285 km
↓
S 43.068888°
W135.000000°		 ← 228.464 km →
53 961.2 km²		 S 43.068888°
W132.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12890625 y=0.62890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12890625 × 27)
    floor (0.12890625 × 128)
    floor (16.5)     		tx = 16
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62890625 × 27)
    floor (0.62890625 × 128)
    floor (80.5)     		ty = 80
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 16 / 80 ti = "7/16/80"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/16/80.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16 ÷ 27
    16 ÷ 128     		x = 0.125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80 ÷ 27
    80 ÷ 128     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Λ = -2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35619449} λ = -2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16 KachelY 80 -2.35619449 -0.71523415 -135.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 17 KachelY 80 -2.30710710 -0.71523415 -132.187500 -40.979898
    Unten links KachelX 16 KachelY + 1 81 -2.35619449 -0.75169390 -135.000000 -43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 17 KachelY + 1 81 -2.30710710 -0.75169390 -132.187500 -43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.75169390) × R
    0.03645975 × 6371000     		dl = 232285.06725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.75169390) × R
    0.03645975 × 6371000     		dr = 232285.06725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35619449--2.30710710) × cos(-0.71523415) × R
    0.04908739 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 236096.644516141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35619449--2.30710710) × cos(-0.75169390) × R
    0.04908739 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 228463.854181845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.730533191814215)×R²
    abs(-2.30710710--2.35619449)×0.0244065158811659×R²
    0.04908739×0.0244065158811659×6371000²
    0.04908739×0.0244065158811659×40589641000000     		ar = 53961211086.5973m²