Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 160 / 33
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E 45.000000°		 ← 30.094 km → N 78.903929°
E 46.406250°		 →
↑
30.459 km
↓
↑
30.459 km
↓
N 78.630006°
E 45.000000°		 ← 30.827 km →
927.792 km²		 N 78.630006°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626953125 y=0.130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626953125 × 28)
    floor (0.626953125 × 256)
    floor (160.5)     		tx = 160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130859375 × 28)
    floor (0.130859375 × 256)
    floor (33.5)     		ty = 33
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 160 / 33 ti = "8/160/33"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/160/33.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 160 ÷ 28
    160 ÷ 256     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33 ÷ 28
    33 ÷ 256     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 160 KachelY 33 0.78539816 1.37713336 45.000000 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 161 KachelY 33 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
    Unten links KachelX 160 KachelY + 1 34 0.78539816 1.37235249 45.000000 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 161 KachelY + 1 34 0.80994186 1.37235249 46.406250 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37235249) × R
    0.00478087000000005 × 6371000     		dl = 30458.9227700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37235249) × R
    0.00478087000000005 × 6371000     		dr = 30458.9227700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.80994186) × cos(1.37713336) × R
    0.0245437000000001 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 30093.7348573118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.80994186) × cos(1.37235249) × R
    0.0245437000000001 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 30826.9875423805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.197143947310492)×R²
    abs(0.80994186-0.78539816)×0.00468927846133968×R²
    0.0245437000000001×0.00468927846133968×6371000²
    0.0245437000000001×0.00468927846133968×40589641000000     		ar = 927791556.522333m²