Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 160 / 480
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
W 67.500000°		 ← 9 966.51 m → S 82.676285°
W 66.796875°		 →
↑
9 906.08 m
↓
↑
9 906.08 m
↓
S 82.765373°
W 67.500000°		 ← 9 845.92 m →
98 131 776 m²		 S 82.765373°
W 66.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3134765625 y=0.9384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3134765625 × 29)
    floor (0.3134765625 × 512)
    floor (160.5)     		tx = 160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9384765625 × 29)
    floor (0.9384765625 × 512)
    floor (480.5)     		ty = 480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 160 / 480 ti = "9/160/480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/160/480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 160 ÷ 29
    160 ÷ 512     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 480 ÷ 29
    480 ÷ 512     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 160 KachelY 480 -1.17809725 -1.44297339 -67.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 161 KachelY 480 -1.16582540 -1.44297339 -66.796875 -82.676285
    Unten links KachelX 160 KachelY + 1 481 -1.17809725 -1.44452826 -67.500000 -82.765373
    Unten rechts KachelX + 1 161 KachelY + 1 481 -1.16582540 -1.44452826 -66.796875 -82.765373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44452826) × R
    0.0015548700000001 × 6371000     		dl = 9906.07677000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44452826) × R
    0.0015548700000001 × 6371000     		dr = 9906.07677000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--1.16582540) × cos(-1.44297339) × R
    0.0122718500000001 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 9966.51111010775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--1.16582540) × cos(-1.44452826) × R
    0.0122718500000001 × 0.125932805725766 × 6371000     		du = 9845.92498589635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44452826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.125932805725766)×R²
    abs(-1.16582540--1.17809725)×0.00154233847762283×R²
    0.0122718500000001×0.00154233847762283×6371000²
    0.0122718500000001×0.00154233847762283×40589641000000     		ar = 98131776.254355m²