Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 160 / 96
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E 45.000000°		 ← 118.048 km → N 40.979898°
E 46.406250°		 →
↑
118.997 km
↓
↑
118.997 km
↓
N 39.909736°
E 45.000000°		 ← 119.943 km →
14 160.5 km²		 N 39.909736°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626953125 y=0.376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626953125 × 28)
    floor (0.626953125 × 256)
    floor (160.5)     		tx = 160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376953125 × 28)
    floor (0.376953125 × 256)
    floor (96.5)     		ty = 96
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 160 / 96 ti = "8/160/96"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/160/96.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 160 ÷ 28
    160 ÷ 256     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96 ÷ 28
    96 ÷ 256     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 160 KachelY 96 0.78539816 0.71523415 45.000000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 161 KachelY 96 0.80994186 0.71523415 46.406250 40.979898
    Unten links KachelX 160 KachelY + 1 97 0.78539816 0.69655630 45.000000 39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 161 KachelY + 1 97 0.80994186 0.69655630 46.406250 39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.69655630) × R
    0.01867785 × 6371000     		dl = 118996.58235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.69655630) × R
    0.01867785 × 6371000     		dr = 118996.58235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.80994186) × cos(0.71523415) × R
    0.0245437000000001 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 118048.346306675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.80994186) × cos(0.69655630) × R
    0.0245437000000001 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 119942.967566048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.767056140195237)×R²
    abs(0.80994186-0.78539816)×0.0121164324998558×R²
    0.0245437000000001×0.0121164324998558×6371000²
    0.0245437000000001×0.0121164324998558×40589641000000     		ar = 14160488163.7607m²