Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1600 / 2624
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
W 39.375000°		 ← 6 899.80 m → S 45.089036°
W 39.287109°		 →
↑
6 896.03 m
↓
↑
6 896.03 m
↓
S 45.151053°
W 39.375000°		 ← 6 892.30 m →
47 555 402 m²		 S 45.151053°
W 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3907470703125 y=0.6407470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3907470703125 × 212)
    floor (0.3907470703125 × 4096)
    floor (1600.5)     		tx = 1600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6407470703125 × 212)
    floor (0.6407470703125 × 4096)
    floor (2624.5)     		ty = 2624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1600 / 2624 ti = "12/1600/2624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1600/2624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1600 ÷ 212
    1600 ÷ 4096     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2624 ÷ 212
    2624 ÷ 4096     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1600 KachelY 2624 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 1601 KachelY 2624 -0.68568941 -0.78695213 -39.287109 -45.089036
    Unten links KachelX 1600 KachelY + 1 2625 -0.68722339 -0.78803454 -39.375000 -45.151053
    Unten rechts KachelX + 1 1601 KachelY + 1 2625 -0.68568941 -0.78803454 -39.287109 -45.151053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.78803454) × R
    0.00108240999999998 × 6371000     		dl = 6896.03410999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.78803454) × R
    0.00108240999999998 × 6371000     		dr = 6896.03410999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68568941) × cos(-0.78695213) × R
    0.00153397999999993 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 6899.79798738757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68568941) × cos(-0.78803454) × R
    0.00153397999999993 × 0.705240126207726 × 6371000     		du = 6892.30228910532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.78803454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.705240126207726)×R²
    abs(-0.68568941--0.68722339)×0.000766981333790717×R²
    0.00153397999999993×0.000766981333790717×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766981333790717×40589641000000     		ar = 47555401.6206527m²