Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1600 / 448
↖ ↑ ↗
← N 80.178713°
W 39.375000°		 ← 1 667.03 m → N 80.178713°
W 39.287109°		 →
↑
1 668.31 m
↓
↑
1 668.31 m
↓
N 80.163710°
W 39.375000°		 ← 1 669.55 m →
2 783 231 m²		 N 80.163710°
W 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3907470703125 y=0.1094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3907470703125 × 212)
    floor (0.3907470703125 × 4096)
    floor (1600.5)     		tx = 1600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1094970703125 × 212)
    floor (0.1094970703125 × 4096)
    floor (448.5)     		ty = 448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1600 / 448 ti = "12/1600/448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1600/448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1600 ÷ 212
    1600 ÷ 4096     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 448 ÷ 212
    448 ÷ 4096     		y = 0.109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109375 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45436926054687))-π/2
    2×atan(11.6390899999285)-π/2
    2×1.48508943365266-π/2
    2.97017886730533-1.57079632675     		φ = 1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1600 KachelY 448 -0.68722339 1.39938254 -39.375000 80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 1601 KachelY 448 -0.68568941 1.39938254 -39.287109 80.178713
    Unten links KachelX 1600 KachelY + 1 449 -0.68722339 1.39912068 -39.375000 80.163710
    Unten rechts KachelX + 1 1601 KachelY + 1 449 -0.68568941 1.39912068 -39.287109 80.163710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39938254-1.39912068) × R
    0.000261859999999947 × 6371000     		dl = 1668.31005999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39938254-1.39912068) × R
    0.000261859999999947 × 6371000     		dr = 1668.31005999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68568941) × cos(1.39938254) × R
    0.00153397999999993 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 1667.0329153094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68568941) × cos(1.39912068) × R
    0.00153397999999993 × 0.170833602735543 × 6371000     		du = 1669.55450694744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39938254)-sin(1.39912068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.170833602735543)×R²
    abs(-0.68568941--0.68722339)×0.00025801648425558×R²
    0.00153397999999993×0.00025801648425558×6371000²
    0.00153397999999993×0.00025801648425558×40589641000000     		ar = 2783231.19721195m²