Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1601 / 2622
↖ ↑ ↗
← S 44.964798°
W 39.287109°		 ← 6 914.79 m → S 44.964798°
W 39.199219°		 →
↑
6 911.07 m
↓
↑
6 911.07 m
↓
S 45.026951°
W 39.287109°		 ← 6 907.29 m →
47 762 695 m²		 S 45.026951°
W 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3909912109375 y=0.6402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3909912109375 × 212)
    floor (0.3909912109375 × 4096)
    floor (1601.5)     		tx = 1601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6402587890625 × 212)
    floor (0.6402587890625 × 4096)
    floor (2622.5)     		ty = 2622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1601 / 2622 ti = "12/1601/2622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1601/2622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1601 ÷ 212
    1601 ÷ 4096     		x = 0.390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2622 ÷ 212
    2622 ÷ 4096     		y = 0.64013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68568941} λ = -0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880504972221191))-π/2
    2×atan(0.414573510708644)-π/2
    2×0.393006277717247-π/2
    0.786012555434495-1.57079632675     		φ = -0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1601 KachelY 2622 -0.68568941 -0.78478377 -39.287109 -44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 1602 KachelY 2622 -0.68415543 -0.78478377 -39.199219 -44.964798
    Unten links KachelX 1601 KachelY + 1 2623 -0.68568941 -0.78586854 -39.287109 -45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 1602 KachelY + 1 2623 -0.68415543 -0.78586854 -39.199219 -45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78478377--0.78586854) × R
    0.00108476999999996 × 6371000     		dl = 6911.06966999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78478377--0.78586854) × R
    0.00108476999999996 × 6371000     		dr = 6911.06966999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68568941--0.68415543) × cos(-0.78478377) × R
    0.00153398000000005 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 6914.78957187444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68568941--0.68415543) × cos(-0.78586854) × R
    0.00153398000000005 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 6907.29376007183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78478377)-sin(-0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.706774096488284)×R²
    abs(-0.68415543--0.68568941)×0.000766992949519874×R²
    0.00153398000000005×0.000766992949519874×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766992949519874×40589641000000     		ar = 47762695.129449m²