Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1602 / 2498
↖ ↑ ↗
← S 36.738884°
W 39.199219°		 ← 7 831.78 m → S 36.738884°
W 39.111328°		 →
↑
7 828.18 m
↓
↑
7 828.18 m
↓
S 36.809285°
W 39.199219°		 ← 7 824.59 m →
61 280 392 m²		 S 36.809285°
W 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3912353515625 y=0.6099853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3912353515625 × 212)
    floor (0.3912353515625 × 4096)
    floor (1602.5)     		tx = 1602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6099853515625 × 212)
    floor (0.6099853515625 × 4096)
    floor (2498.5)     		ty = 2498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1602 / 2498 ti = "12/1602/2498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1602/2498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1602 ÷ 212
    1602 ÷ 4096     		x = 0.39111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2498 ÷ 212
    2498 ÷ 4096     		y = 0.60986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68415543} λ = -0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.690291354528809))-π/2
    2×atan(0.501429953893483)-π/2
    2×0.464790917665676-π/2
    0.929581835331353-1.57079632675     		φ = -0.64121449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64121449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.738884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1602 KachelY 2498 -0.68415543 -0.64121449 -39.199219 -36.738884
    Oben rechts KachelX + 1 1603 KachelY 2498 -0.68262145 -0.64121449 -39.111328 -36.738884
    Unten links KachelX 1602 KachelY + 1 2499 -0.68415543 -0.64244321 -39.199219 -36.809285
    Unten rechts KachelX + 1 1603 KachelY + 1 2499 -0.68262145 -0.64244321 -39.111328 -36.809285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64121449--0.64244321) × R
    0.00122872000000007 × 6371000     		dl = 7828.17512000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64121449--0.64244321) × R
    0.00122872000000007 × 6371000     		dr = 7828.17512000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68415543--0.68262145) × cos(-0.64121449) × R
    0.00153398000000005 × 0.801369878631093 × 6371000     		do = 7831.77706947813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68415543--0.68262145) × cos(-0.64244321) × R
    0.00153398000000005 × 0.800634291497675 × 6371000     		du = 7824.58818629482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64121449)-sin(-0.64244321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.801369878631093-0.800634291497675)×R²
    abs(-0.68262145--0.68415543)×0.000735587133417592×R²
    0.00153398000000005×0.000735587133417592×6371000²
    0.00153398000000005×0.000735587133417592×40589641000000     		ar = 61280392.1922947m²