Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1602 / 2626
↖ ↑ ↗
← S 45.213004°
W 39.199219°		 ← 6 884.81 m → S 45.213004°
W 39.111328°		 →
↑
6 881.06 m
↓
↑
6 881.06 m
↓
S 45.274887°
W 39.199219°		 ← 6 877.31 m →
47 348 999 m²		 S 45.274887°
W 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3912353515625 y=0.6412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3912353515625 × 212)
    floor (0.3912353515625 × 4096)
    floor (1602.5)     		tx = 1602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6412353515625 × 212)
    floor (0.6412353515625 × 4096)
    floor (2626.5)     		ty = 2626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1602 / 2626 ti = "12/1602/2626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1602/2626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1602 ÷ 212
    1602 ÷ 4096     		x = 0.39111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2626 ÷ 212
    2626 ÷ 4096     		y = 0.64111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68415543} λ = -0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886640895372559))-π/2
    2×atan(0.412037507822364)-π/2
    2×0.390840275022375-π/2
    0.78168055004475-1.57079632675     		φ = -0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1602 KachelY 2626 -0.68415543 -0.78911578 -39.199219 -45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 1603 KachelY 2626 -0.68262145 -0.78911578 -39.111328 -45.213004
    Unten links KachelX 1602 KachelY + 1 2627 -0.68415543 -0.79019584 -39.199219 -45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 1603 KachelY + 1 2627 -0.68262145 -0.79019584 -39.111328 -45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78911578--0.79019584) × R
    0.00108005999999994 × 6371000     		dl = 6881.06225999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78911578--0.79019584) × R
    0.00108005999999994 × 6371000     		dr = 6881.06225999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68415543--0.68262145) × cos(-0.78911578) × R
    0.00153398000000005 × 0.70447314899197 × 6371000     		do = 6884.80663106907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68415543--0.68262145) × cos(-0.79019584) × R
    0.00153398000000005 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 6877.31111762018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78911578)-sin(-0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70447314899197-0.703706186570858)×R²
    abs(-0.68262145--0.68415543)×0.000766962421112516×R²
    0.00153398000000005×0.000766962421112516×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766962421112516×40589641000000     		ar = 47348999.1319238m²