Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1604 / 580
↖ ↑ ↗
← N 61.270233°
E101.953125°		 ← 9 395.37 m → N 61.270233°
E102.128907°		 →
↑
9 407.99 m
↓
↑
9 407.99 m
↓
N 61.185625°
E101.953125°		 ← 9 420.67 m →
88 510 613 m²		 N 61.185625°
E102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783447265625 y=0.283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783447265625 × 211)
    floor (0.783447265625 × 2048)
    floor (1604.5)     		tx = 1604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283447265625 × 211)
    floor (0.283447265625 × 2048)
    floor (580.5)     		ty = 580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1604 / 580 ti = "11/1604/580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1604/580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1604 ÷ 211
    1604 ÷ 2048     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 580 ÷ 211
    580 ÷ 2048     		y = 0.283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283203125 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36217493960352))-π/2
    2×atan(3.90467650879763)-π/2
    2×1.32008181121254-π/2
    2.64016362242508-1.57079632675     		φ = 1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1604 KachelY 580 1.77941771 1.06936730 101.953125 61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 1605 KachelY 580 1.78248568 1.06936730 102.128907 61.270233
    Unten links KachelX 1604 KachelY + 1 581 1.77941771 1.06789061 101.953125 61.185625
    Unten rechts KachelX + 1 1605 KachelY + 1 581 1.78248568 1.06789061 102.128907 61.185625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06936730-1.06789061) × R
    0.00147668999999984 × 6371000     		dl = 9407.99198999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06936730-1.06789061) × R
    0.00147668999999984 × 6371000     		dr = 9407.99198999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.78248568) × cos(1.06936730) × R
    0.00306797000000003 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 9395.3721471755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.78248568) × cos(1.06789061) × R
    0.00306797000000003 × 0.481973517465778 × 6371000     		du = 9420.67214274979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06936730)-sin(1.06789061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.481973517465778)×R²
    abs(1.78248568-1.77941771)×0.00129437981430974×R²
    0.00306797000000003×0.00129437981430974×6371000²
    0.00306797000000003×0.00129437981430974×40589641000000     		ar = 88510613.0654984m²