Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1607 / 2633
↖ ↑ ↗
← S 45.644768°
W 38.759766°		 ← 6 832.34 m → S 45.644768°
W 38.671875°		 →
↑
6 828.63 m
↓
↑
6 828.63 m
↓
S 45.706179°
W 38.759766°		 ← 6 824.85 m →
46 629 950 m²		 S 45.706179°
W 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3924560546875 y=0.6429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3924560546875 × 212)
    floor (0.3924560546875 × 4096)
    floor (1607.5)     		tx = 1607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6429443359375 × 212)
    floor (0.6429443359375 × 4096)
    floor (2633.5)     		ty = 2633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1607 / 2633 ti = "12/1607/2633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1607/2633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1607 ÷ 212
    1607 ÷ 4096     		x = 0.392333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2633 ÷ 212
    2633 ÷ 4096     		y = 0.642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.21533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.67648553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67648553} λ = -0.67648553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897378760887451))-π/2
    2×atan(0.407636774004507)-π/2
    2×0.387072417551696-π/2
    0.774144835103393-1.57079632675     		φ = -0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67648553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.759766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1607 KachelY 2633 -0.67648553 -0.79665149 -38.759766 -45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 1608 KachelY 2633 -0.67495155 -0.79665149 -38.671875 -45.644768
    Unten links KachelX 1607 KachelY + 1 2634 -0.67648553 -0.79772332 -38.759766 -45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 1608 KachelY + 1 2634 -0.67495155 -0.79772332 -38.671875 -45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79665149--0.79772332) × R
    0.00107183 × 6371000     		dl = 6828.62892999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79665149--0.79772332) × R
    0.00107183 × 6371000     		dr = 6828.62892999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67648553--0.67495155) × cos(-0.79665149) × R
    0.00153398000000005 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 6832.34254171659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67648553--0.67495155) × cos(-0.79772332) × R
    0.00153398000000005 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 6824.84880720432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79665149)-sin(-0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.698338092591969)×R²
    abs(-0.67495155--0.67648553)×0.000766780395218158×R²
    0.00153398000000005×0.000766780395218158×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766780395218158×40589641000000     		ar = 46629950.4380096m²