Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1608 / 2632
↖ ↑ ↗
← S 45.583290°
W 38.671875°		 ← 6 839.84 m → S 45.583290°
W 38.583985°		 →
↑
6 836.08 m
↓
↑
6 836.08 m
↓
S 45.644768°
W 38.671875°		 ← 6 832.34 m →
46 732 080 m²		 S 45.644768°
W 38.583985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3927001953125 y=0.6427001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3927001953125 × 212)
    floor (0.3927001953125 × 4096)
    floor (1608.5)     		tx = 1608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6427001953125 × 212)
    floor (0.6427001953125 × 4096)
    floor (2632.5)     		ty = 2632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1608 / 2632 ti = "12/1608/2632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1608/2632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1608 ÷ 212
    1608 ÷ 4096     		x = 0.392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2632 ÷ 212
    2632 ÷ 4096     		y = 0.642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392578125 × 2 - 1) × π
    -0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67495155} λ = -0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895844780099609))-π/2
    2×atan(0.408262560834024)-π/2
    2×0.387608918339952-π/2
    0.775217836679904-1.57079632675     		φ = -0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1608 KachelY 2632 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 1609 KachelY 2632 -0.67341757 -0.79557849 -38.583985 -45.583290
    Unten links KachelX 1608 KachelY + 1 2633 -0.67495155 -0.79665149 -38.671875 -45.644768
    Unten rechts KachelX + 1 1609 KachelY + 1 2633 -0.67341757 -0.79665149 -38.583985 -45.644768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79557849--0.79665149) × R
    0.00107299999999999 × 6371000     		dl = 6836.08299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79557849--0.79665149) × R
    0.00107299999999999 × 6371000     		dr = 6836.08299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67495155--0.67341757) × cos(-0.79557849) × R
    0.00153397999999993 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 6839.83659433385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67495155--0.67341757) × cos(-0.79665149) × R
    0.00153397999999993 × 0.699104872987187 × 6371000     		du = 6832.3425417161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79557849)-sin(-0.79665149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.699104872987187)×R²
    abs(-0.67341757--0.67495155)×0.000766812944683282×R²
    0.00153397999999993×0.000766812944683282×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766812944683282×40589641000000     		ar = 46732080.1661236m²