Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1615 / 2641
↖ ↑ ↗
← S 46.134170°
W 38.056641°		 ← 6 772.41 m → S 46.134170°
W 37.968750°		 →
↑
6 768.68 m
↓
↑
6 768.68 m
↓
S 46.195042°
W 38.056641°		 ← 6 764.92 m →
45 814 891 m²		 S 46.195042°
W 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3944091796875 y=0.6448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3944091796875 × 212)
    floor (0.3944091796875 × 4096)
    floor (1615.5)     		tx = 1615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6448974609375 × 212)
    floor (0.6448974609375 × 4096)
    floor (2641.5)     		ty = 2641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1615 / 2641 ti = "12/1615/2641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1615/2641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1615 ÷ 212
    1615 ÷ 4096     		x = 0.394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2641 ÷ 212
    2641 ÷ 4096     		y = 0.644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.21142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.66421368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.28955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.909650607190186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66421368} λ = -0.66421368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909650607190186))-π/2
    2×atan(0.402664887675291)-π/2
    2×0.382801580915512-π/2
    0.765603161831024-1.57079632675     		φ = -0.80519316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66421368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.056641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80519316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.134170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1615 KachelY 2641 -0.66421368 -0.80519316 -38.056641 -46.134170
    Oben rechts KachelX + 1 1616 KachelY 2641 -0.66267970 -0.80519316 -37.968750 -46.134170
    Unten links KachelX 1615 KachelY + 1 2642 -0.66421368 -0.80625558 -38.056641 -46.195042
    Unten rechts KachelX + 1 1616 KachelY + 1 2642 -0.66267970 -0.80625558 -37.968750 -46.195042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80519316--0.80625558) × R
    0.00106242000000001 × 6371000     		dl = 6768.67782000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80519316--0.80625558) × R
    0.00106242000000001 × 6371000     		dr = 6768.67782000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66421368--0.66267970) × cos(-0.80519316) × R
    0.00153398000000005 × 0.692971986445446 × 6371000     		do = 6772.40592384749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66421368--0.66267970) × cos(-0.80625558) × R
    0.00153398000000005 × 0.692205628382587 × 6371000     		du = 6764.91631678369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80519316)-sin(-0.80625558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692971986445446-0.692205628382587)×R²
    abs(-0.66267970--0.66421368)×0.000766358062858852×R²
    0.00153398000000005×0.000766358062858852×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766358062858852×40589641000000     		ar = 45814890.7055826m²