Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1616 / 2640
↖ ↑ ↗
← S 46.073231°
W 37.968750°		 ← 6 779.90 m → S 46.073231°
W 37.880859°		 →
↑
6 776.13 m
↓
↑
6 776.13 m
↓
S 46.134170°
W 37.968750°		 ← 6 772.41 m →
45 916 097 m²		 S 46.134170°
W 37.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3946533203125 y=0.6446533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3946533203125 × 212)
    floor (0.3946533203125 × 4096)
    floor (1616.5)     		tx = 1616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6446533203125 × 212)
    floor (0.6446533203125 × 4096)
    floor (2640.5)     		ty = 2640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1616 / 2640 ti = "12/1616/2640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1616/2640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1616 ÷ 212
    1616 ÷ 4096     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2640 ÷ 212
    2640 ÷ 4096     		y = 0.64453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64453125 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908116626402344))-π/2
    2×atan(0.403283041874041)-π/2
    2×0.383333377684421-π/2
    0.766666755368841-1.57079632675     		φ = -0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1616 KachelY 2640 -0.66267970 -0.80412957 -37.968750 -46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 1617 KachelY 2640 -0.66114572 -0.80412957 -37.880859 -46.073231
    Unten links KachelX 1616 KachelY + 1 2641 -0.66267970 -0.80519316 -37.968750 -46.134170
    Unten rechts KachelX + 1 1617 KachelY + 1 2641 -0.66114572 -0.80519316 -37.880859 -46.134170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80412957--0.80519316) × R
    0.00106359 × 6371000     		dl = 6776.13189000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80412957--0.80519316) × R
    0.00106359 × 6371000     		dr = 6776.13189000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66114572) × cos(-0.80412957) × R
    0.00153397999999993 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 6779.89612201629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66114572) × cos(-0.80519316) × R
    0.00153397999999993 × 0.692971986445446 × 6371000     		du = 6772.405923847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80412957)-sin(-0.80519316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.692971986445446)×R²
    abs(-0.66114572--0.66267970)×0.00076641854646764×R²
    0.00153397999999993×0.00076641854646764×6371000²
    0.00153397999999993×0.00076641854646764×40589641000000     		ar = 45916097.3663967m²