Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1620 / 2644
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
W 37.617188°		 ← 6 749.94 m → S 46.316584°
W 37.529297°		 →
↑
6 746.19 m
↓
↑
6 746.19 m
↓
S 46.377254°
W 37.617188°		 ← 6 742.45 m →
45 511 108 m²		 S 46.377254°
W 37.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3956298828125 y=0.6456298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3956298828125 × 212)
    floor (0.3956298828125 × 4096)
    floor (1620.5)     		tx = 1620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6456298828125 × 212)
    floor (0.6456298828125 × 4096)
    floor (2644.5)     		ty = 2644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1620 / 2644 ti = "12/1620/2644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1620/2644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1620 ÷ 212
    1620 ÷ 4096     		x = 0.3955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2644 ÷ 212
    2644 ÷ 4096     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65654378} λ = -0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1620 KachelY 2644 -0.65654378 -0.80837689 -37.617188 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 1621 KachelY 2644 -0.65500980 -0.80837689 -37.529297 -46.316584
    Unten links KachelX 1620 KachelY + 1 2645 -0.65654378 -0.80943578 -37.617188 -46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 1621 KachelY + 1 2645 -0.65500980 -0.80943578 -37.529297 -46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.80943578) × R
    0.00105889000000003 × 6371000     		dl = 6746.18819000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.80943578) × R
    0.00105889000000003 × 6371000     		dr = 6746.18819000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65654378--0.65500980) × cos(-0.80837689) × R
    0.00153398000000005 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 6749.93915202673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65654378--0.65500980) × cos(-0.80943578) × R
    0.00153398000000005 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 6742.45166178388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.689906980490674)×R²
    abs(-0.65500980--0.65654378)×0.000766141463672265×R²
    0.00153398000000005×0.000766141463672265×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766141463672265×40589641000000     		ar = 45511108.0339411m²