Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16256 / 16768
↖ ↑ ↗
← S  4.214943°
W  1.406250°		 ← 1 218.27 m → S  4.214943°
W  1.395264°		 →
↑
1 218.26 m
↓
↑
1 218.26 m
↓
S  4.225899°
W  1.406250°		 ← 1 218.25 m →
1 484 164 m²		 S  4.225899°
W  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496109008789062 y=0.511734008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496109008789062 × 215)
    floor (0.496109008789062 × 32768)
    floor (16256.5)     		tx = 16256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511734008789062 × 215)
    floor (0.511734008789062 × 32768)
    floor (16768.5)     		ty = 16768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16256 / 16768 ti = "15/16256/16768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16256/16768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16256 ÷ 215
    16256 ÷ 32768     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16768 ÷ 215
    16768 ÷ 32768     		y = 0.51171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51171875 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(0.929014364635963)-π/2
    2×0.748615845597688-π/2
    1.49723169119538-1.57079632675     		φ = -0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16256 KachelY 16768 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 16257 KachelY 16768 -0.02435195 -0.07356464 -1.395264 -4.214943
    Unten links KachelX 16256 KachelY + 1 16769 -0.02454369 -0.07375586 -1.406250 -4.225899
    Unten rechts KachelX + 1 16257 KachelY + 1 16769 -0.02435195 -0.07375586 -1.395264 -4.225899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07356464--0.07375586) × R
    0.000191220000000006 × 6371000     		dl = 1218.26262000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07356464--0.07375586) × R
    0.000191220000000006 × 6371000     		dr = 1218.26262000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02435195) × cos(-0.07356464) × R
    0.000191739999999999 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 1218.27159587814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02435195) × cos(-0.07375586) × R
    0.000191739999999999 × 0.997281269367786 × 6371000     		du = 1218.25440515983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07356464)-sin(-0.07375586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997281269367786)×R²
    abs(-0.02435195--0.02454369)×1.40725790139795e-05×R²
    0.000191739999999999×1.40725790139795e-05×6371000²
    0.000191739999999999×1.40725790139795e-05×40589641000000     		ar = 1484164.27938368m²