Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16320 / 49088
↖ ↑ ↗
← N 41.112469°
W135.175781°		 ← 230.11 m → N 41.112469°
W135.173034°		 →
↑
230.06 m
↓
↑
230.06 m
↓
N 41.110400°
W135.175781°		 ← 230.12 m →
52 940 m²		 N 41.110400°
W135.173034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124515533447266 y=0.374515533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124515533447266 × 217)
    floor (0.124515533447266 × 131072)
    floor (16320.5)     		tx = 16320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374515533447266 × 217)
    floor (0.374515533447266 × 131072)
    floor (49088.5)     		ty = 49088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16320 / 49088 ti = "17/16320/49088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16320/49088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16320 ÷ 217
    16320 ÷ 131072     		x = 0.12451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49088 ÷ 217
    49088 ÷ 131072     		y = 0.37451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35926245} λ = -2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.788466124950684))-π/2
    2×atan(2.20001928217461)-π/2
    2×1.14417213538627-π/2
    2.28834427077253-1.57079632675     		φ = 0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16320 KachelY 49088 -2.35926245 0.71754794 -135.175781 41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 16321 KachelY 49088 -2.35921451 0.71754794 -135.173034 41.112469
    Unten links KachelX 16320 KachelY + 1 49089 -2.35926245 0.71751183 -135.175781 41.110400
    Unten rechts KachelX + 1 16321 KachelY + 1 49089 -2.35921451 0.71751183 -135.173034 41.110400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71754794-0.71751183) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dl = 230.056810000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71754794-0.71751183) × R
    3.61100000000336e-05 × 6371000     		dr = 230.056810000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35926245--2.35921451) × cos(0.71754794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 230.113958201125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35926245--2.35921451) × cos(0.71751183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.753444061397613 × 6371000     		du = 230.12121000082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71754794)-sin(0.71751183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.753444061397613)×R²
    abs(-2.35921451--2.35926245)×2.37432499796686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37432499796686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37432499796686e-05×40589641000000     		ar = 52940.1173289563m²