Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1634 / 2658
↖ ↑ ↗
← S 47.159840°
W 36.386719°		 ← 6 645.20 m → S 47.159840°
W 36.298828°		 →
↑
6 641.45 m
↓
↑
6 641.45 m
↓
S 47.219568°
W 36.386719°		 ← 6 637.72 m →
44 108 910 m²		 S 47.219568°
W 36.298828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3990478515625 y=0.6490478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3990478515625 × 212)
    floor (0.3990478515625 × 4096)
    floor (1634.5)     		tx = 1634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6490478515625 × 212)
    floor (0.6490478515625 × 4096)
    floor (2658.5)     		ty = 2658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1634 / 2658 ti = "12/1634/2658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1634/2658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1634 ÷ 212
    1634 ÷ 4096     		x = 0.39892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2658 ÷ 212
    2658 ÷ 4096     		y = 0.64892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63506805} λ = -0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935728280583496))-π/2
    2×atan(0.392300056955348)-π/2
    2×0.373850921935847-π/2
    0.747701843871693-1.57079632675     		φ = -0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1634 KachelY 2658 -0.63506805 -0.82309448 -36.386719 -47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 1635 KachelY 2658 -0.63353407 -0.82309448 -36.298828 -47.159840
    Unten links KachelX 1634 KachelY + 1 2659 -0.63506805 -0.82413693 -36.386719 -47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 1635 KachelY + 1 2659 -0.63353407 -0.82413693 -36.298828 -47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82309448--0.82413693) × R
    0.00104245000000003 × 6371000     		dl = 6641.44895000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82309448--0.82413693) × R
    0.00104245000000003 × 6371000     		dr = 6641.44895000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63506805--0.63353407) × cos(-0.82309448) × R
    0.00153398000000005 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 6645.1952762123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63506805--0.63353407) × cos(-0.82413693) × R
    0.00153398000000005 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 6637.72139087892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82309448)-sin(-0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.63353407--0.63506805)×0.000764749370338658×R²
    0.00153398000000005×0.000764749370338658×6371000²
    0.00153398000000005×0.000764749370338658×40589641000000     		ar = 44108910.4702342m²