Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1636 / 2660
↖ ↑ ↗
← S 47.279229°
W 36.210937°		 ← 6 630.25 m → S 47.279229°
W 36.123047°		 →
↑
6 626.54 m
↓
↑
6 626.54 m
↓
S 47.338823°
W 36.210937°		 ← 6 622.78 m →
43 910 862 m²		 S 47.338823°
W 36.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3995361328125 y=0.6495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3995361328125 × 212)
    floor (0.3995361328125 × 4096)
    floor (1636.5)     		tx = 1636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6495361328125 × 212)
    floor (0.6495361328125 × 4096)
    floor (2660.5)     		ty = 2660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1636 / 2660 ti = "12/1636/2660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1636/2660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1636 ÷ 212
    1636 ÷ 4096     		x = 0.3994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2660 ÷ 212
    2660 ÷ 4096     		y = 0.6494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3994140625 × 2 - 1) × π
    -0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63200008} λ = -0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93879624215918))-π/2
    2×atan(0.391098339808072)-π/2
    2×0.372809056456923-π/2
    0.745618112913845-1.57079632675     		φ = -0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1636 KachelY 2660 -0.63200008 -0.82517821 -36.210937 -47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 1637 KachelY 2660 -0.63046610 -0.82517821 -36.123047 -47.279229
    Unten links KachelX 1636 KachelY + 1 2661 -0.63200008 -0.82621832 -36.210937 -47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 1637 KachelY + 1 2661 -0.63046610 -0.82621832 -36.123047 -47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82517821--0.82621832) × R
    0.00104010999999993 × 6371000     		dl = 6626.54080999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82517821--0.82621832) × R
    0.00104010999999993 × 6371000     		dr = 6626.54080999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63200008--0.63046610) × cos(-0.82517821) × R
    0.00153397999999993 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 6630.24869281667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63200008--0.63046610) × cos(-0.82621832) × R
    0.00153397999999993 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 6622.7772143754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82517821)-sin(-0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.63046610--0.63200008)×0.000764503090237789×R²
    0.00153397999999993×0.000764503090237789×6371000²
    0.00153397999999993×0.000764503090237789×40589641000000     		ar = 43910862.4736628m²