Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16380 / 16395
↖ ↑ ↗
← S  0.120849°
W  0.043945°		 ← 1 221.64 m → S  0.120849°
W  0.032959°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.131836°
W  0.043945°		 ← 1 221.64 m →
1 492 399 m²		 S  0.131836°
W  0.032959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499893188476562 y=0.500350952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499893188476562 × 215)
    floor (0.499893188476562 × 32768)
    floor (16380.5)     		tx = 16380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500350952148438 × 215)
    floor (0.500350952148438 × 32768)
    floor (16395.5)     		ty = 16395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16380 / 16395 ti = "15/16380/16395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16380/16395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16380 ÷ 215
    16380 ÷ 32768     		x = 0.4998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16395 ÷ 215
    16395 ÷ 32768     		y = 0.500335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.00067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00076699} λ = -0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00210922358328247))-π/2
    2×atan(0.997892999265677)-π/2
    2×0.78434355238777-π/2
    1.56868710477554-1.57079632675     		φ = -0.00210922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00210922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.120849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16380 KachelY 16395 -0.00076699 -0.00210922 -0.043945 -0.120849
    Oben rechts KachelX + 1 16381 KachelY 16395 -0.00057524 -0.00210922 -0.032959 -0.120849
    Unten links KachelX 16380 KachelY + 1 16396 -0.00076699 -0.00230097 -0.043945 -0.131836
    Unten rechts KachelX + 1 16381 KachelY + 1 16396 -0.00057524 -0.00230097 -0.032959 -0.131836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00210922--0.00230097) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00210922--0.00230097) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00076699--0.00057524) × cos(-0.00210922) × R
    0.00019175 × 0.99999777559632 × 6371000     		do = 1221.63653258116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00076699--0.00057524) × cos(-0.00230097) × R
    0.00019175 × 0.999997352769697 × 6371000     		du = 1221.63601603956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00210922)-sin(-0.00230097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99999777559632-0.999997352769697)×R²
    abs(-0.00057524--0.00076699)×4.22826622936689e-07×R²
    0.00019175×4.22826622936689e-07×6371000²
    0.00019175×4.22826622936689e-07×40589641000000     		ar = 1492398.82649402m²