Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16381 / 16379
↖ ↑ ↗
← N  0.054932°
W  0.032959°		 ← 1 221.57 m → N  0.054932°
W  0.021973°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.043945°
W  0.032959°		 ← 1 221.58 m →
1 492 324 m²		 N  0.043945°
W  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499923706054688 y=0.499862670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499923706054688 × 215)
    floor (0.499923706054688 × 32768)
    floor (16381.5)     		tx = 16381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499862670898438 × 215)
    floor (0.499862670898438 × 32768)
    floor (16379.5)     		ty = 16379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16381 / 16379 ti = "15/16381/16379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16381/16379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16381 ÷ 215
    16381 ÷ 32768     		x = 0.499908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16379 ÷ 215
    16379 ÷ 32768     		y = 0.499847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.00018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00057524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499847412109375 × 2 - 1) × π
    0.00030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.000958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00057524} λ = -0.00057524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000958737992401123))-π/2
    2×atan(1.00095919772858)-π/2
    2×0.785877532320211-π/2
    1.57175506464042-1.57079632675     		φ = 0.00095874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00057524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00095874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.054932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16381 KachelY 16379 -0.00057524 0.00095874 -0.032959 0.054932
    Oben rechts KachelX + 1 16382 KachelY 16379 -0.00038350 0.00095874 -0.021973 0.054932
    Unten links KachelX 16381 KachelY + 1 16380 -0.00057524 0.00076699 -0.032959 0.043945
    Unten rechts KachelX + 1 16382 KachelY + 1 16380 -0.00038350 0.00076699 -0.021973 0.043945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00095874-0.00076699) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00095874-0.00076699) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00057524--0.00038350) × cos(0.00095874) × R
    0.00019174 × 0.999999540408841 × 6371000     		do = 1221.57497857468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00057524--0.00038350) × cos(0.00076699) × R
    0.00019174 × 0.999999705863184 × 6371000     		du = 1221.57518068966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00095874)-sin(0.00076699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999540408841-0.999999705863184)×R²
    abs(-0.00038350--0.00057524)×1.65454342893057e-07×R²
    0.00019174×1.65454342893057e-07×6371000²
    0.00019174×1.65454342893057e-07×40589641000000     		ar = 1492324.06867303m²