Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16390 / 16390
↖ ↑ ↗
← S  0.065918°
E  0.065918°		 ← 1 221.57 m → S  0.065918°
E  0.076904°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.076904°
E  0.065918°		 ← 1 221.57 m →
1 492 246 m²		 S  0.076904°
E  0.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500198364257812 y=0.500198364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500198364257812 × 215)
    floor (0.500198364257812 × 32768)
    floor (16390.5)     		tx = 16390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500198364257812 × 215)
    floor (0.500198364257812 × 32768)
    floor (16390.5)     		ty = 16390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16390 / 16390 ti = "15/16390/16390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16390/16390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16390 ÷ 215
    16390 ÷ 32768     		x = 0.50018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16390 ÷ 215
    16390 ÷ 32768     		y = 0.50018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    0.0003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00115049} λ = 0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00115048559088135))-π/2
    2×atan(0.998850175963939)-π/2
    2×0.784822920728908-π/2
    1.56964584145782-1.57079632675     		φ = -0.00115049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00115049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.065918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16390 KachelY 16390 0.00115049 -0.00115049 0.065918 -0.065918
    Oben rechts KachelX + 1 16391 KachelY 16390 0.00134223 -0.00115049 0.076904 -0.065918
    Unten links KachelX 16390 KachelY + 1 16391 0.00115049 -0.00134223 0.065918 -0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 16391 KachelY + 1 16391 0.00134223 -0.00134223 0.076904 -0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00115049--0.00134223) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00115049--0.00134223) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00115049-0.00134223) × cos(-0.00115049) × R
    0.00019174 × 0.999999338186453 × 6371000     		do = 1221.57473154476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00115049-0.00134223) × cos(-0.00134223) × R
    0.00019174 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 1221.5744396163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00115049)-sin(-0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999338186453-0.999999099209449)×R²
    abs(0.00134223-0.00115049)×2.38977004185514e-07×R²
    0.00019174×2.38977004185514e-07×6371000²
    0.00019174×2.38977004185514e-07×40589641000000     		ar = 1492245.63860258m²