Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16392 / 49160
↖ ↑ ↗
← N 40.963308°
W134.978027°		 ← 230.59 m → N 40.963308°
W134.975281°		 →
↑
230.63 m
↓
↑
230.63 m
↓
N 40.961234°
W134.978027°		 ← 230.60 m →
53 181 m²		 N 40.961234°
W134.975281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125064849853516 y=0.375064849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125064849853516 × 217)
    floor (0.125064849853516 × 131072)
    floor (16392.5)     		tx = 16392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375064849853516 × 217)
    floor (0.375064849853516 × 131072)
    floor (49160.5)     		ty = 49160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16392 / 49160 ti = "17/16392/49160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16392/49160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16392 ÷ 217
    16392 ÷ 131072     		x = 0.12506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49160 ÷ 217
    49160 ÷ 131072     		y = 0.37506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.7498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35581099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.78501466817804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35581099} λ = -2.35581099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78501466817804))-π/2
    2×atan(2.19243909958441)-π/2
    2×1.14287046153373-π/2
    2.28574092306747-1.57079632675     		φ = 0.71494460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35581099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71494460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.963308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16392 KachelY 49160 -2.35581099 0.71494460 -134.978027 40.963308
    Oben rechts KachelX + 1 16393 KachelY 49160 -2.35576306 0.71494460 -134.975281 40.963308
    Unten links KachelX 16392 KachelY + 1 49161 -2.35581099 0.71490840 -134.978027 40.961234
    Unten rechts KachelX + 1 16393 KachelY + 1 49161 -2.35576306 0.71490840 -134.975281 40.961234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71494460-0.71490840) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dl = 230.630200000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71494460-0.71490840) × R
    3.62000000000418e-05 × 6371000     		dr = 230.630200000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35581099--2.35576306) × cos(0.71494460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755129561257668 × 6371000     		do = 230.587895738792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35581099--2.35576306) × cos(0.71490840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755153292599011 × 6371000     		du = 230.595142389359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71494460)-sin(0.71490840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755129561257668-0.755153292599011)×R²
    abs(-2.35576306--2.35581099)×2.37313413424811e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37313413424811e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37313413424811e-05×40589641000000     		ar = 53181.3681658232m²