Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 164 / 108
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E 50.625000°		 ← 139.251 km → N 27.059126°
E 52.031250°		 →
↑
140.021 km
↓
↑
140.021 km
↓
N 25.799891°
E 50.625000°		 ← 140.781 km →
19 605.9 km²		 N 25.799891°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642578125 y=0.423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642578125 × 28)
    floor (0.642578125 × 256)
    floor (164.5)     		tx = 164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423828125 × 28)
    floor (0.423828125 × 256)
    floor (108.5)     		ty = 108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 164 / 108 ti = "8/164/108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/164/108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 164 ÷ 28
    164 ÷ 256     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 108 ÷ 28
    108 ÷ 256     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 164 KachelY 108 0.88357293 0.47227084 50.625000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 165 KachelY 108 0.90811663 0.47227084 52.031250 27.059126
    Unten links KachelX 164 KachelY + 1 109 0.88357293 0.45029305 50.625000 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 165 KachelY + 1 109 0.90811663 0.45029305 52.031250 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.45029305) × R
    0.0219777900000001 × 6371000     		dl = 140020.50009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.45029305) × R
    0.0219777900000001 × 6371000     		dr = 140020.50009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.90811663) × cos(0.47227084) × R
    0.0245436999999999 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 139251.499126422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.90811663) × cos(0.45029305) × R
    0.0245436999999999 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 140781.096152096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.900319597040296)×R²
    abs(0.90811663-0.88357293)×0.00978203903385422×R²
    0.0245436999999999×0.00978203903385422×6371000²
    0.0245436999999999×0.00978203903385422×40589641000000     		ar = 19605941199.6778m²