Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 164 / 37
↖ ↑ ↗
← N 77.767582°
E 50.625000°		 ← 33.131 km → N 77.767582°
E 52.031250°		 →
↑
33.531 km
↓
↑
33.531 km
↓
N 77.466029°
E 50.625000°		 ← 33.935 km →
1 124.40 km²		 N 77.466029°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642578125 y=0.146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642578125 × 28)
    floor (0.642578125 × 256)
    floor (164.5)     		tx = 164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146484375 × 28)
    floor (0.146484375 × 256)
    floor (37.5)     		ty = 37
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 164 / 37 ti = "8/164/37"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/164/37.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 164 ÷ 28
    164 ÷ 256     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37 ÷ 28
    37 ÷ 256     		y = 0.14453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14453125 × 2 - 1) × π
    0.7109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23347602709766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23347602709766))-π/2
    2×atan(9.33224891518146)-π/2
    2×1.46404834533796-π/2
    2.92809669067591-1.57079632675     		φ = 1.35730036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35730036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.767582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 164 KachelY 37 0.88357293 1.35730036 50.625000 77.767582
    Oben rechts KachelX + 1 165 KachelY 37 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
    Unten links KachelX 164 KachelY + 1 38 0.88357293 1.35203726 50.625000 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 165 KachelY + 1 38 0.90811663 1.35203726 52.031250 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35730036-1.35203726) × R
    0.00526310000000008 × 6371000     		dl = 33531.2101000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35730036-1.35203726) × R
    0.00526310000000008 × 6371000     		dr = 33531.2101000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.90811663) × cos(1.35730036) × R
    0.0245436999999999 × 0.21187778260903 × 6371000     		do = 33130.8866140782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.90811663) × cos(1.35203726) × R
    0.0245436999999999 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 33934.7192002597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35730036)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21187778260903-0.217018431814494)×R²
    abs(0.90811663-0.88357293)×0.0051406492054647×R²
    0.0245436999999999×0.0051406492054647×6371000²
    0.0245436999999999×0.0051406492054647×40589641000000     		ar = 1124398055.02971m²