Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16402 / 16402
↖ ↑ ↗
← S  0.197754°
E  0.197754°		 ← 1 221.57 m → S  0.197754°
E  0.208740°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
S  0.208740°
E  0.197754°		 ← 1 221.57 m →
1 492 315 m²		 S  0.208740°
E  0.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500564575195312 y=0.500564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500564575195312 × 215)
    floor (0.500564575195312 × 32768)
    floor (16402.5)     		tx = 16402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500564575195312 × 215)
    floor (0.500564575195312 × 32768)
    floor (16402.5)     		ty = 16402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16402 / 16402 ti = "15/16402/16402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16402/16402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16402 ÷ 215
    16402 ÷ 32768     		x = 0.50054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16402 ÷ 215
    16402 ÷ 32768     		y = 0.50054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50054931640625 × 2 - 1) × π
    0.0010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00345146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00345146} λ = 0.00345146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00345145677264404))-π/2
    2×atan(0.996554492657581)-π/2
    2×0.783672438437422-π/2
    1.56734487687484-1.57079632675     		φ = -0.00345145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00345146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00345145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.197754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16402 KachelY 16402 0.00345146 -0.00345145 0.197754 -0.197754
    Oben rechts KachelX + 1 16403 KachelY 16402 0.00364320 -0.00345145 0.208740 -0.197754
    Unten links KachelX 16402 KachelY + 1 16403 0.00345146 -0.00364320 0.197754 -0.208740
    Unten rechts KachelX + 1 16403 KachelY + 1 16403 0.00364320 -0.00364320 0.208740 -0.208740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00345145--0.00364320) × R
    0.00019175 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00345145--0.00364320) × R
    0.00019175 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00345146-0.00364320) × cos(-0.00345145) × R
    0.00019174 × 0.999994043752362 × 6371000     		do = 1221.56826399358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00345146-0.00364320) × cos(-0.00364320) × R
    0.00019174 × 0.99999336355422 × 6371000     		du = 1221.56743308016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00345145)-sin(-0.00364320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999994043752362-0.99999336355422)×R²
    abs(0.00364320-0.00345146)×6.80198141145283e-07×R²
    0.00019174×6.80198141145283e-07×6371000²
    0.00019174×6.80198141145283e-07×40589641000000     		ar = 1492315.23488316m²