Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16424 / 16552
↖ ↑ ↗
← S  1.845384°
E  0.439453°		 ← 1 221.01 m → S  1.845384°
E  0.450439°		 →
↑
1 220.94 m
↓
↑
1 220.94 m
↓
S  1.856364°
E  0.439453°		 ← 1 221 m →
1 490 768 m²		 S  1.856364°
E  0.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501235961914062 y=0.505142211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501235961914062 × 215)
    floor (0.501235961914062 × 32768)
    floor (16424.5)     		tx = 16424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505142211914062 × 215)
    floor (0.505142211914062 × 32768)
    floor (16552.5)     		ty = 16552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16424 / 16552 ti = "15/16424/16552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16424/16552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16424 ÷ 215
    16424 ÷ 32768     		x = 0.501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16552 ÷ 215
    16552 ÷ 32768     		y = 0.505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501220703125 × 2 - 1) × π
    0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0322135965446777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00766990} λ = 0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0322135965446777))-π/2
    2×atan(0.968299734511517)-π/2
    2×0.769294150115815-π/2
    1.53858830023163-1.57079632675     		φ = -0.03220803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03220803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.845384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16424 KachelY 16552 0.00766990 -0.03220803 0.439453 -1.845384
    Oben rechts KachelX + 1 16425 KachelY 16552 0.00786165 -0.03220803 0.450439 -1.845384
    Unten links KachelX 16424 KachelY + 1 16553 0.00766990 -0.03239967 0.439453 -1.856364
    Unten rechts KachelX + 1 16425 KachelY + 1 16553 0.00786165 -0.03239967 0.450439 -1.856364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03220803--0.03239967) × R
    0.00019164 × 6371000     		dl = 1220.93844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03220803--0.03239967) × R
    0.00019164 × 6371000     		dr = 1220.93844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(-0.03220803) × R
    0.000191749999999999 × 0.999481366238124 × 6371000     		do = 1221.00566664011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00766990-0.00786165) × cos(-0.03239967) × R
    0.000191749999999999 × 0.999475176604971 × 6371000     		du = 1220.99810514131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03220803)-sin(-0.03239967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999481366238124-0.999475176604971)×R²
    abs(0.00786165-0.00766990)×6.18963315313081e-06×R²
    0.000191749999999999×6.18963315313081e-06×6371000²
    0.000191749999999999×6.18963315313081e-06×40589641000000     		ar = 1490768.14235896m²