Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16447 / 16448
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
E  0.692139°		 ← 1 221.55 m → S  0.703107°
E  0.703125°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.714093°
E  0.692139°		 ← 1 221.54 m →
1 492 133 m²		 S  0.714093°
E  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501937866210938 y=0.501968383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501937866210938 × 215)
    floor (0.501937866210938 × 32768)
    floor (16447.5)     		tx = 16447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501968383789062 × 215)
    floor (0.501968383789062 × 32768)
    floor (16448.5)     		ty = 16448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16447 / 16448 ti = "15/16447/16448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16447/16448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16447 ÷ 215
    16447 ÷ 32768     		x = 0.501922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16448 ÷ 215
    16448 ÷ 32768     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501922607421875 × 2 - 1) × π
    0.00384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01208010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01208010} λ = 0.01208010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01208010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16447 KachelY 16448 0.01208010 -0.01227154 0.692139 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 16448 KachelY 16448 0.01227185 -0.01227154 0.703125 -0.703107
    Unten links KachelX 16447 KachelY + 1 16449 0.01208010 -0.01246327 0.692139 -0.714093
    Unten rechts KachelX + 1 16448 KachelY + 1 16449 0.01227185 -0.01246327 0.703125 -0.714093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01246327) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01246327) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01208010-0.01227185) × cos(-0.01227154) × R
    0.000191750000000001 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 1221.5472674031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01208010-0.01227185) × cos(-0.01246327) × R
    0.000191750000000001 × 0.999922334455797 × 6371000     		du = 1221.54437072284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01246327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999922334455797)×R²
    abs(0.01227185-0.01208010)×2.37114211054656e-06×R²
    0.000191750000000001×2.37114211054656e-06×6371000²
    0.000191750000000001×2.37114211054656e-06×40589641000000     		ar = 1492132.67344341m²