Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16449 / 49215
↖ ↑ ↗
← N 40.849138°
W134.821472°		 ← 231.03 m → N 40.849138°
W134.818725°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
N 40.847060°
W134.821472°		 ← 231.04 m →
53 373 m²		 N 40.847060°
W134.818725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125499725341797 y=0.375484466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125499725341797 × 217)
    floor (0.125499725341797 × 131072)
    floor (16449.5)     		tx = 16449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375484466552734 × 217)
    floor (0.375484466552734 × 131072)
    floor (49215.5)     		ty = 49215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16449 / 49215 ti = "17/16449/49215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16449/49215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16449 ÷ 217
    16449 ÷ 131072     		x = 0.125495910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49215 ÷ 217
    49215 ÷ 131072     		y = 0.375480651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125495910644531 × 2 - 1) × π
    -0.749008178710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.35307859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375480651855469 × 2 - 1) × π
    0.249038696289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.782378138698936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35307859} λ = -2.35307859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782378138698936))-π/2
    2×atan(2.18666628271219)-π/2
    2×1.1418741407201-π/2
    2.2837482814402-1.57079632675     		φ = 0.71295195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35307859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.821472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71295195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.849138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16449 KachelY 49215 -2.35307859 0.71295195 -134.821472 40.849138
    Oben rechts KachelX + 1 16450 KachelY 49215 -2.35303065 0.71295195 -134.818725 40.849138
    Unten links KachelX 16449 KachelY + 1 49216 -2.35307859 0.71291569 -134.821472 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 16450 KachelY + 1 49216 -2.35303065 0.71291569 -134.818725 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71295195-0.71291569) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71295195-0.71291569) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35307859--2.35303065) × cos(0.71295195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756434393901062 × 6371000     		do = 231.034534518532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35307859--2.35303065) × cos(0.71291569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 231.04177801538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71295195)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756434393901062-0.756458109966538)×R²
    abs(-2.35303065--2.35307859)×2.37160654752433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37160654752433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37160654752433e-05×40589641000000     		ar = 53372.6928390468m²