Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16452 / 16452
↖ ↑ ↗
← S  0.747049°
E  0.747071°		 ← 1 221.47 m → S  0.747049°
E  0.758056°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.758035°
E  0.747071°		 ← 1 221.47 m →
1 492 040 m²		 S  0.758035°
E  0.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502090454101562 y=0.502090454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502090454101562 × 215)
    floor (0.502090454101562 × 32768)
    floor (16452.5)     		tx = 16452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502090454101562 × 215)
    floor (0.502090454101562 × 32768)
    floor (16452.5)     		ty = 16452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16452 / 16452 ti = "15/16452/16452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16452/16452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16452 ÷ 215
    16452 ÷ 32768     		x = 0.5020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16452 ÷ 215
    16452 ÷ 32768     		y = 0.5020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01303884} λ = 0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0130388366966553))-π/2
    2×atan(0.987045800677557)-π/2
    2×0.77887892977036-π/2
    1.55775785954072-1.57079632675     		φ = -0.01303847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01303847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.747049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16452 KachelY 16452 0.01303884 -0.01303847 0.747071 -0.747049
    Oben rechts KachelX + 1 16453 KachelY 16452 0.01323058 -0.01303847 0.758056 -0.747049
    Unten links KachelX 16452 KachelY + 1 16453 0.01303884 -0.01323020 0.747071 -0.758035
    Unten rechts KachelX + 1 16453 KachelY + 1 16453 0.01323058 -0.01323020 0.758056 -0.758035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01303847--0.01323020) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dl = 1221.51183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01303847--0.01323020) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dr = 1221.51183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01303884-0.01323058) × cos(-0.01303847) × R
    0.000191740000000001 × 0.999915000354213 × 6371000     		do = 1221.4717065118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01303884-0.01323058) × cos(-0.01323020) × R
    0.000191740000000001 × 0.999912482180571 × 6371000     		du = 1221.46863037248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01303847)-sin(-0.01323020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999915000354213-0.999912482180571)×R²
    abs(0.01323058-0.01303884)×2.51817364216311e-06×R²
    0.000191740000000001×2.51817364216311e-06×6371000²
    0.000191740000000001×2.51817364216311e-06×40589641000000     		ar = 1492040.26531482m²