Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16452 / 49220
↖ ↑ ↗
← N 40.838749°
W134.813232°		 ← 231.07 m → N 40.838749°
W134.810486°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
N 40.836671°
W134.813232°		 ← 231.08 m →
53 381 m²		 N 40.836671°
W134.810486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125522613525391 y=0.375522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125522613525391 × 217)
    floor (0.125522613525391 × 131072)
    floor (16452.5)     		tx = 16452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375522613525391 × 217)
    floor (0.375522613525391 × 131072)
    floor (49220.5)     		ty = 49220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16452 / 49220 ti = "17/16452/49220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16452/49220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16452 ÷ 217
    16452 ÷ 131072     		x = 0.125518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49220 ÷ 217
    49220 ÷ 131072     		y = 0.375518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.74896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35293478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    0.24896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782138454200836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35293478} λ = -2.35293478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782138454200836))-π/2
    2×atan(2.18614223550721)-π/2
    2×1.14178348081573-π/2
    2.28356696163146-1.57079632675     		φ = 0.71277063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35293478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71277063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.838749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16452 KachelY 49220 -2.35293478 0.71277063 -134.813232 40.838749
    Oben rechts KachelX + 1 16453 KachelY 49220 -2.35288684 0.71277063 -134.810486 40.838749
    Unten links KachelX 16452 KachelY + 1 49221 -2.35293478 0.71273437 -134.813232 40.836671
    Unten rechts KachelX + 1 16453 KachelY + 1 49221 -2.35288684 0.71273437 -134.810486 40.836671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71277063-0.71273437) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71277063-0.71273437) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35293478--2.35288684) × cos(0.71277063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756552977360958 × 6371000     		do = 231.070752959522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35293478--2.35288684) × cos(0.71273437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756576688452664 × 6371000     		du = 231.077994937253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71277063)-sin(0.71273437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756552977360958-0.756576688452664)×R²
    abs(-2.35288684--2.35293478)×2.371109170618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.371109170618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.371109170618e-05×40589641000000     		ar = 53381.0595747947m²