Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16453 / 16445
↖ ↑ ↗
← S  0.670151°
E  0.758056°		 ← 1 221.56 m → S  0.670151°
E  0.769043°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.681136°
E  0.758056°		 ← 1 221.55 m →
1 492 143 m²		 S  0.681136°
E  0.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502120971679688 y=0.501876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502120971679688 × 215)
    floor (0.502120971679688 × 32768)
    floor (16453.5)     		tx = 16453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501876831054688 × 215)
    floor (0.501876831054688 × 32768)
    floor (16445.5)     		ty = 16445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16453 / 16445 ti = "15/16453/16445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16453/16445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16453 ÷ 215
    16453 ÷ 32768     		x = 0.502105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16445 ÷ 215
    16445 ÷ 32768     		y = 0.501861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502105712890625 × 2 - 1) × π
    0.00421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01323058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01323058} λ = 0.01323058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(0.988371535834474)-π/2
    2×0.779549994990788-π/2
    1.55909998998158-1.57079632675     		φ = -0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01323058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.758056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16453 KachelY 16445 0.01323058 -0.01169634 0.758056 -0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 16454 KachelY 16445 0.01342233 -0.01169634 0.769043 -0.670151
    Unten links KachelX 16453 KachelY + 1 16446 0.01323058 -0.01188807 0.758056 -0.681136
    Unten rechts KachelX + 1 16454 KachelY + 1 16446 0.01342233 -0.01188807 0.769043 -0.681136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01169634--0.01188807) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01169634--0.01188807) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01323058-0.01342233) × cos(-0.01169634) × R
    0.000191749999999999 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 1221.55568815902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01323058-0.01342233) × cos(-0.01188807) × R
    0.000191749999999999 × 0.999929337728046 × 6371000     		du = 1221.55292619508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01169634)-sin(-0.01188807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.999929337728046)×R²
    abs(0.01342233-0.01323058)×2.26086706245354e-06×R²
    0.000191749999999999×2.26086706245354e-06×6371000²
    0.000191749999999999×2.26086706245354e-06×40589641000000     		ar = 1492143.04177522m²