Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16458 / 16442
↖ ↑ ↗
← S  0.637194°
E  0.812988°		 ← 1 221.56 m → S  0.637194°
E  0.823975°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.648180°
E  0.812988°		 ← 1 221.56 m →
1 492 231 m²		 S  0.648180°
E  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502273559570312 y=0.501785278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502273559570312 × 215)
    floor (0.502273559570312 × 32768)
    floor (16458.5)     		tx = 16458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501785278320312 × 215)
    floor (0.501785278320312 × 32768)
    floor (16442.5)     		ty = 16442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16458 / 16442 ti = "15/16458/16442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16458/16442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16458 ÷ 215
    16458 ÷ 32768     		x = 0.50225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16442 ÷ 215
    16442 ÷ 32768     		y = 0.50177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50225830078125 × 2 - 1) × π
    0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.011121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01418932} λ = 0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011121360711853))-π/2
    2×atan(0.988940252999225)-π/2
    2×0.779837597666458-π/2
    1.55967519533292-1.57079632675     		φ = -0.01112113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01112113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.637194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16458 KachelY 16442 0.01418932 -0.01112113 0.812988 -0.637194
    Oben rechts KachelX + 1 16459 KachelY 16442 0.01438107 -0.01112113 0.823975 -0.637194
    Unten links KachelX 16458 KachelY + 1 16443 0.01418932 -0.01131287 0.812988 -0.648180
    Unten rechts KachelX + 1 16459 KachelY + 1 16443 0.01438107 -0.01131287 0.823975 -0.648180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01112113--0.01131287) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01112113--0.01131287) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.01112113) × R
    0.000191749999999999 × 0.999938160871118 × 6371000     		do = 1221.56370489297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.01131287) × R
    0.000191749999999999 × 0.999936010168643 × 6371000     		du = 1221.56107751041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01112113)-sin(-0.01131287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999938160871118-0.999936010168643)×R²
    abs(0.01438107-0.01418932)×2.15070247544524e-06×R²
    0.000191749999999999×2.15070247544524e-06×6371000²
    0.000191749999999999×2.15070247544524e-06×40589641000000     		ar = 1492230.74224761m²