Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16458 / 16454
↖ ↑ ↗
← S  0.769020°
E  0.812988°		 ← 1 221.53 m → S  0.769020°
E  0.823975°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.780005°
E  0.812988°		 ← 1 221.53 m →
1 492 110 m²		 S  0.780005°
E  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502273559570312 y=0.502151489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502273559570312 × 215)
    floor (0.502273559570312 × 32768)
    floor (16458.5)     		tx = 16458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502151489257812 × 215)
    floor (0.502151489257812 × 32768)
    floor (16454.5)     		ty = 16454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16458 / 16454 ti = "15/16458/16454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16458/16454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16458 ÷ 215
    16458 ÷ 32768     		x = 0.50225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16454 ÷ 215
    16454 ÷ 32768     		y = 0.50213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50225830078125 × 2 - 1) × π
    0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0134223318936157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01418932} λ = 0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0134223318936157))-π/2
    2×atan(0.986667345926245)-π/2
    2×0.778687198954382-π/2
    1.55737439790876-1.57079632675     		φ = -0.01342193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01342193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.769020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16458 KachelY 16454 0.01418932 -0.01342193 0.812988 -0.769020
    Oben rechts KachelX + 1 16459 KachelY 16454 0.01438107 -0.01342193 0.823975 -0.769020
    Unten links KachelX 16458 KachelY + 1 16455 0.01418932 -0.01361366 0.812988 -0.780005
    Unten rechts KachelX + 1 16459 KachelY + 1 16455 0.01438107 -0.01361366 0.823975 -0.780005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01342193--0.01361366) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dl = 1221.51183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01342193--0.01361366) × R
    0.000191729999999999 × 6371000     		dr = 1221.51183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.01342193) × R
    0.000191749999999999 × 0.999909927249753 × 6371000     		do = 1221.52921359294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01418932-0.01438107) × cos(-0.01361366) × R
    0.000191749999999999 × 0.999907335561854 × 6371000     		du = 1221.52604748528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01342193)-sin(-0.01361366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999909927249753-0.999907335561854)×R²
    abs(0.01438107-0.01418932)×2.59168789951136e-06×R²
    0.000191749999999999×2.59168789951136e-06×6371000²
    0.000191749999999999×2.59168789951136e-06×40589641000000     		ar = 1492110.45594626m²