Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16464 / 16496
↖ ↑ ↗
← S  1.230374°
E  0.878906°		 ← 1 221.36 m → S  1.230374°
E  0.889893°		 →
↑
1 221.32 m
↓
↑
1 221.32 m
↓
S  1.241358°
E  0.878906°		 ← 1 221.35 m →
1 491 666 m²		 S  1.241358°
E  0.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502456665039062 y=0.503433227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502456665039062 × 215)
    floor (0.502456665039062 × 32768)
    floor (16464.5)     		tx = 16464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503433227539062 × 215)
    floor (0.503433227539062 × 32768)
    floor (16496.5)     		ty = 16496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16464 / 16496 ti = "15/16464/16496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16464/16496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16464 ÷ 215
    16464 ÷ 32768     		x = 0.50244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16496 ÷ 215
    16496 ÷ 32768     		y = 0.50341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50244140625 × 2 - 1) × π
    0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01533981} λ = 0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0214757310297852))-π/2
    2×atan(0.978753230513914)-π/2
    2×0.774661123183897-π/2
    1.54932224636779-1.57079632675     		φ = -0.02147408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02147408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.230374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16464 KachelY 16496 0.01533981 -0.02147408 0.878906 -1.230374
    Oben rechts KachelX + 1 16465 KachelY 16496 0.01553156 -0.02147408 0.889893 -1.230374
    Unten links KachelX 16464 KachelY + 1 16497 0.01533981 -0.02166578 0.878906 -1.241358
    Unten rechts KachelX + 1 16465 KachelY + 1 16497 0.01553156 -0.02166578 0.889893 -1.241358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02147408--0.02166578) × R
    0.0001917 × 6371000     		dl = 1221.3207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02147408--0.02166578) × R
    0.0001917 × 6371000     		dr = 1221.3207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01533981-0.01553156) × cos(-0.02147408) × R
    0.000191749999999999 × 0.999769440804212 × 6371000     		do = 1221.35758983697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01533981-0.01553156) × cos(-0.02166578) × R
    0.000191749999999999 × 0.999765306169269 × 6371000     		du = 1221.35253880464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02147408)-sin(-0.02166578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999769440804212-0.999765306169269)×R²
    abs(0.01553156-0.01533981)×4.13463494264299e-06×R²
    0.000191749999999999×4.13463494264299e-06×6371000²
    0.000191749999999999×4.13463494264299e-06×40589641000000     		ar = 1491666.2266729m²