Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16478 / 16482
↖ ↑ ↗
← S  1.076597°
E  1.032715°		 ← 1 221.42 m → S  1.076597°
E  1.043701°		 →
↑
1 221.38 m
↓
↑
1 221.38 m
↓
S  1.087581°
E  1.032715°		 ← 1 221.42 m →
1 491 825 m²		 S  1.087581°
E  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502883911132812 y=0.503005981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502883911132812 × 215)
    floor (0.502883911132812 × 32768)
    floor (16478.5)     		tx = 16478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503005981445312 × 215)
    floor (0.503005981445312 × 32768)
    floor (16482.5)     		ty = 16482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16478 / 16482 ti = "15/16478/16482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16478/16482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16478 ÷ 215
    16478 ÷ 32768     		x = 0.50286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16482 ÷ 215
    16482 ÷ 32768     		y = 0.50299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50286865234375 × 2 - 1) × π
    0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.018791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01802427} λ = 0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.018791264651062))-π/2
    2×atan(0.981384190436053)-π/2
    2×0.776003083974279-π/2
    1.55200616794856-1.57079632675     		φ = -0.01879016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01879016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.076597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16478 KachelY 16482 0.01802427 -0.01879016 1.032715 -1.076597
    Oben rechts KachelX + 1 16479 KachelY 16482 0.01821602 -0.01879016 1.043701 -1.076597
    Unten links KachelX 16478 KachelY + 1 16483 0.01802427 -0.01898187 1.032715 -1.087581
    Unten rechts KachelX + 1 16479 KachelY + 1 16483 0.01821602 -0.01898187 1.043701 -1.087581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01879016--0.01898187) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dl = 1221.38441000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01879016--0.01898187) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dr = 1221.38441000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01802427-0.01821602) × cos(-0.01879016) × R
    0.000191750000000001 × 0.99982347013763 × 6371000     		do = 1221.42359419134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01802427-0.01821602) × cos(-0.01898187) × R
    0.000191750000000001 × 0.999819849714932 × 6371000     		du = 1221.41917134087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01879016)-sin(-0.01898187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99982347013763-0.999819849714932)×R²
    abs(0.01821602-0.01802427)×3.62042269808072e-06×R²
    0.000191750000000001×3.62042269808072e-06×6371000²
    0.000191750000000001×3.62042269808072e-06×40589641000000     		ar = 1491825.03952023m²