Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16479 / 16481
↖ ↑ ↗
← S  1.065612°
E  1.043701°		 ← 1 221.43 m → S  1.065612°
E  1.054688°		 →
↑
1 221.45 m
↓
↑
1 221.45 m
↓
S  1.076597°
E  1.043701°		 ← 1 221.42 m →
1 491 908 m²		 S  1.076597°
E  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502914428710938 y=0.502975463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502914428710938 × 215)
    floor (0.502914428710938 × 32768)
    floor (16479.5)     		tx = 16479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502975463867188 × 215)
    floor (0.502975463867188 × 32768)
    floor (16481.5)     		ty = 16481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16479 / 16481 ti = "15/16479/16481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16479/16481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16479 ÷ 215
    16479 ÷ 32768     		x = 0.502899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16481 ÷ 215
    16481 ÷ 32768     		y = 0.502960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502899169921875 × 2 - 1) × π
    0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.00592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0185995170525818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01821602} λ = 0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0185995170525818))-π/2
    2×atan(0.981572386540254)-π/2
    2×0.77609894102102-π/2
    1.55219788204204-1.57079632675     		φ = -0.01859844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01859844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.065612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16479 KachelY 16481 0.01821602 -0.01859844 1.043701 -1.065612
    Oben rechts KachelX + 1 16480 KachelY 16481 0.01840777 -0.01859844 1.054688 -1.065612
    Unten links KachelX 16479 KachelY + 1 16482 0.01821602 -0.01879016 1.043701 -1.076597
    Unten rechts KachelX + 1 16480 KachelY + 1 16482 0.01840777 -0.01879016 1.054688 -1.076597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01859844--0.01879016) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dl = 1221.44812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01859844--0.01879016) × R
    0.000191719999999999 × 6371000     		dr = 1221.44812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01821602-0.01840777) × cos(-0.01859844) × R
    0.000191750000000001 × 0.999827054000066 × 6371000     		do = 1221.42797237836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01821602-0.01840777) × cos(-0.01879016) × R
    0.000191750000000001 × 0.99982347013763 × 6371000     		du = 1221.42359419134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01859844)-sin(-0.01879016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999827054000066-0.99982347013763)×R²
    abs(0.01840777-0.01821602)×3.58386243581865e-06×R²
    0.000191750000000001×3.58386243581865e-06×6371000²
    0.000191750000000001×3.58386243581865e-06×40589641000000     		ar = 1491908.23128257m²